אז מה זה אינטגרלים.
הבעייה הזאת, של חישוב צורות קצת יותר מסובכות מריבוע או משולש מעסיקה את המתמטיקאים הרבה מאד שנים.
צורות כאלה, שייכות לענף המתמטיקה התלוי בגורמים משתנים, ובמילים אחרות חשבון אינפיניטסימלי.
מה זה גורמים משתנים? הדוגמה הכי פשוטה לכך, היא שטח שכלוא תחת גרף עקום. אם הגרף היה ישר, היינו משתמשים בנוסחאות פשוטות של חישובי שטחים. אבל אם הגרף עקום, מתווצרת לנו פה צורה שהקו שתוחם אותה מלמעלה לא אחיד. הוא נוצר על ידי עקום מכני- עקום שנוצר מנקודה נעה.
אגב, ארכימדס (זה שצעק ברחוב אאורקה כשהוא יחף
) היה הראשון שהתחיל בפיתוח נוסחאות לחישוב שטחים ונפחים בחשבון האינפיניטסימלי.
וכל זה היה רקע.
עכשיו בואי נחשוב איך היית מחשבת שטח של צורה פונקציונלית כזאת, עם גורם משתנה.
נגיד שזו הצורה הזאת שדיברתי עליה מקודם:
היא תחומה מלמטה בציר הX, בצדדים בישרים המקבילים לציר הY, אבל מלמעלה יש גורם משתנה- גרף עקום (כמו גל פראי כזה)
איך תגדירי את הגובה (הY) של הישר שנמצא שם למעלה? הרי בכל נקודה הוא משתנה!
כאן בא רעיון שהוא הגיוני וגאוני בו זמנית.
נחלק את הצורה הזאת למלא מלא מקלות ישרים, שכל אחד מהם מתחיל בציר הX ונגמר בנקודה שמולו על הגרף המשתנה. לכל מקל יש גובה שונה, אבל ניתן להגדרה, ואם נצרף את כל הקווים האלה ביחד- נקבל את השטח של הצורה הזאת!
מה שאי אפשר להתעלם ממנו, זו בעיה אחת- המקלות הללו הם בעצם חסרי רוחב, (קו הוא חסר רוחב),
ולכן, בכלים המתמטיים שלנו אין דרך להגדיר את רוחב המקלות הללו וממילא גם את שטח צירופם.
אז מה עושים?
מרחיבים אותם, טיפונת טיפונת, הכי טיפונת שאפשר, אבל זה כבר יוצר לנו מלבן ולא קו. ולמלבן יש רוחב. ואם יש רוחב,
אנחנו כבר יכולים לחשב את השטח שלו ואת שטח צירוף כל המלבנים, שזה שטח הצורה.
שטח זה יהיה רק בקירוב לשטח הצורה, כי הרי הרוחב של הקווים טיפונת הוגדל בכדי שיהיה נתון להגדרה.
בכדי שהקירוב יהיה הטוב ביותר אנחנו נקטין את המלבנים למינימום האפשרי ונקבל את הקירוב הטוב ביותר האפשרי.
והמדהים הוא, שהקירוב הזה עובד.
כן, עם הקירוב הלא מדוייק אנחנו מגיעים לתשובה סופית מדוייקת.
אז ככה שבסופו של עניין, האינטגרל זה בעצם צירוף השטחים שמעל ציר הX ומתחת לגרף,
ובמילים אחרות שטח הצורה.
וכמובן שלכל הסיפור הזה יש נוסחאות לאין ספור, אבל זה מה שעומד מאחורי הנוסחאות.
זהו.
תודה שעוררת אצלי את הנושא הזה, זה היה כיף כביר לכתוב את זה
ואם למישו יש תיקונים, אשמח לשמוע.
חחח